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\(C\)の対象\(X\)に対し，
\(h_A(X)={\rm{Hom}}_C(X,A)\)
とおき，
\(C\)の射\(f:X\to Y\)に対し，
$$ h_A(f):h_A(Y)={\rm{Hom}}_C(Y,A)\to h_A(X)={\rm{Hom}}_C(X,A) \ ;\ g\mapsto g\circ f $$とおく． このとき， 反変関手\(h_A:C^{\rm{op}}\to{\bf{Set}}\)が定まる．
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\(C\)の対象\(X\)に対し，
\(h^A(X)={\rm{Hom}}_C(A,X)\)
とおき，
\(C\)の射\(f:X\to Y\)に対し，
$$ h^A(f):h^A(X)={\rm{Hom}}_C(A,X)\to h^A(Y)={\rm{Hom}}_C(A,Y) \ ;\ g\mapsto f\circ g $$とおく． このとき， 共変関手\(h^A:C\to{\bf{Set}}\)が定まる．
定義．
\(C\)を圏，\(A\)を\(C\)の対象とする．
上の命題で定まる
２つの関手
$$
h_A:C^{\rm{op}}\to{\bf{Set}},
$$
$$
h^A:C\to{\bf{Set}}
$$
を，
\(A\)によって表現される関手という．
この記事は， [斎藤2020] を参考にさせていただいています．
