冪自然数列の\(k\)階差数列

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任意の自然数\(k\)に対して, 自然数を\(k\)乗した数列\(\{a_n\}\): $$ 1^k,\ 2^k,\ 3^k,\ \cdots $$ を考える.すなわち,数列\(\{a_n\}\)は,一般項が, $$ a_n=n^k $$ で与えられる数列である. 自然数\(l\)に対して, 数列\(\{a_n\}\)の\(l\)階差数列を\(\{a_n^{(l)}\}\) を $$ a_n^{(l)} =a_{n+1}^{(l-1)}-a_{n}^{(l-1)} $$ によって定める. ここで,便宜上 \(a_n^{(0)}:=a_n\)としている.
このとき, 次が成り立つ.
任意の自然数\(n\)に対して, $$ a_n^{(k)}=k! $$ が成り立つ. すなわち, 自然数を\(k\)乗した数列の \(k\)階差数列は,定数列\(k!\)である.


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