任意の自然数\(n\)に対して，
$$
a_n^{(k)}=k!
$$
が成り立つ．
すなわち，
自然数を\(k\)乗した数列の
\(k\)階差数列は，定数列\(k!\)である．
冪自然数列の\(k\)階差数列
任意の自然数\(k\)に対して，
自然数を\(k\)乗した数列\(\{a_n\}\)：
$$
1^k,\ 2^k,\ 3^k,\ \cdots
$$
を考える．すなわち，数列\(\{a_n\}\)は，一般項が，
$$
a_n=n^k
$$
で与えられる数列である．
自然数\(l\)に対して，
数列\(\{a_n\}\)の\(l\)階差数列を\(\{a_n^{(l)}\}\)
を
$$
a_n^{(l)}
=a_{n+1}^{(l-1)}-a_{n}^{(l-1)}
$$
によって定める．
ここで，便宜上
\(a_n^{(0)}:=a_n\)としている．
証明はコチラ
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