ラグランジュ補間

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定理. (ラグランジュの補間公式)
座標平面上の \(x\)座標が相異なる\(n+1\)個の点
$$ P_1(x_1,y_1),\ P_2(x_2,y_2),\ \cdots\ ,P_{n+1}(x_{n+1},y_{n+1}) $$
に対して, これら全ての点 を通る\(n\)次以下の(多項式)関数\(y=L(x)\)が, ただひとつ存在して, $$ L(x)=\sum_{k=1}^{n+1}y_k\ell_k(x) $$ と表される.ここで, $$ \ell_k(x)=\prod_{i=1\ (i\ne k)}^{n+1}\frac{x-x_i}{x_k-x_i} $$ である. (\(\ell_k(x)\)の積は,\(k\)を除く\(1\)から\(n+1\)の自然数をわたる.)
定義. \(L(x)\)を,ラグランジュ型の補間多項式といい, \(\ell_k(x)\)を,ラグランジュ基底多項式という.

補足. 与えられたいくつかの点を多項式で補間することを 多項式補間といい, その多項式を補間多項式という. ラグランジュの補間公式 は, ラグランジュ基底多項式\(\ell_k(x)\)の線形結合により, 補間多項式を与える公式である. この公式によって与えられた補間多項式\(L(x)\)を ラグランジュ型の補間多項式という.

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