関数\(f(x)\)において， 変数\(x\)が\(a\)と異なる値をとりながら\(a\)に限りなく近づくとき， それに応じて， \(f(x)\)の値がある一定の値\(\alpha\)に近づく場合， この値\(\alpha\)を \(x\to a\)のときの関数\(f(x)\)の極限値 または， 極限 といい，次のように表す： $$\alpha=\lim_{x\to a}f(x)$$
ある実数\(\alpha,\beta\)に対して，
\(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\alpha,
\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=\beta\)
が成り立つとする．
このとき，
$$\displaystyle\lim_{x\to a}\{kf(x)+lg(x)\}=k\alpha+l\beta$$
$$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)g(x)=\alpha\beta$$
$$\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\alpha}{\beta}$$
が成り立つ．
ただし，\(k,l\)は定数であり，
３つ目の公式については，\(\beta\ne0\)を仮定する．
さらに次も成り立つ．
\(a\)の近くの全ての\(x\)に対して， \(f(x)\leq g(x) \hspace{5pt}\Longrightarrow\hspace{5pt} \alpha \leq \beta\)
\(a\)の近くの全ての\(x\)に対して， \(f(x)\leq h(x) \leq g(x) \)かつ\(\alpha=\beta \hspace{5pt}\Longrightarrow\hspace{5pt} \displaystyle\lim_{x\to a}h(x)=\alpha\)
最後の主張は「はさみうちの原理」と呼ばれる．
また， \(x\to\infty\)や\(x\to-\infty\)の場合の極限の定義や， 発散する場合の極限の定義についても紹介する．
さらに， 上で述べた関数の極限の基本的性質は， \(x\to\infty\)や\(x\to-\infty\)の場合にも成り立つことにも言及する．
注意：
高校数学の関数の極限の定義では，
「限りなく近づく」という曖昧な表現が使われている．
これを厳密に定義するには，\(\varepsilon-\delta\)論法
と呼ばれる議論が必要になるが，残念ながら高校数学の範囲を超えてしまう．
そのため，上で述べた関数の極限の基本的性質についても
高校数学の範囲では厳密に証明することができない．
\(\varepsilon-\delta\)論法
については，
関数の極限（ε-δ論法）定義と四則演算その１
を参照してほしい．
