要素の個数

有限集合\(A\)の要素の個数を\(n(A)\)で表す.

有限集合の要素の個数について, 次の定理を証明する. まずは集合が2つの場合:
全体集合を\(U\)とする. 2つの有限集合\(A,B\)の要素の個数について, 次が成り立つ. $$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$$
特に,\(A\cap B=\emptyset\)なら,\(n(A\cup B)=n(A)+n(B)\) である.
また,次も成り立つ. $$n(\overline{A})=n(U)-n(A)$$
次に,集合が3つの場合:
3つの有限集合\(A,B,C\)の要素の個数について, 次が成り立つ.
$$n(A\cup B\cup C) =n(A)+n(B)+n(C) -n(A\cap B) -n(B\cap C) -n(C\cap A) +n(A\cap B\cap C) $$



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