命題（\(\frac{1}{3}\)公式）
定数\(\alpha,\beta\)に対して，次が成り立つ．
$$
\int_\alpha^\beta (x-\alpha)^2\ dx
\ =\
\frac{1}{3}(\beta-\alpha)^3
$$
この当たり前の計算をわざわざ\(\frac{1}{3}\)公式と呼ぶのは， 次のような状況 が良く現れるからである．
\(f(x)=ax^2+bx+c\)とする．
放物線\(C:y=f(x)\)上の
点\((\alpha,f(\alpha))\)における接線を\(\ell\)とする．
このとき，
直線\(x=\beta\)と
放物線\(C\)と直線\(\ell\)で囲まれる部分の面積\(S\)について
次が成り立つ．
$$
S
\ =\
\frac{|a|}{3}|\beta-\alpha|^3
$$
この命題を証明して， \(\frac{1}{3}\)公式は， ２つの放物線が接している場合にも使用できることを説明する．
