命題（\(\frac{1}{12}\)公式）
定数\(\alpha,\beta\)に対して，次が成り立つ．
$$
\int_\alpha^\beta (x-\alpha)^2(x-\beta)\ dx
\ =\
-\frac{1}{12}(\beta-\alpha)^4
$$
$$
\int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta)^2\ dx
\ =\
\frac{1}{12}(\beta-\alpha)^4
$$
\(\frac{1}{12}\)公式は， 次のように言い換えることができる．
命題．
\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\ (a\ne0)\)とする．
三次曲線\(C:y=f(x)\)上の
点\((\alpha,f(\alpha))\)
における
接線\(\ell\)が，
接点とは
異なる点\((\beta,f(\beta))\)
で\(C\)と交わっているとする．
このとき，
\(C\)と\(\ell\)で囲まれる部分の面積\(S\)について
次が成り立つ．
$$
S
\ =\
\frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4
$$
放物線とその２接線に関する面積公式 も\(\frac{1}{12}\)公式と呼ばれることがあるが 上の命題とは違うものなので注意すること．
