放物線の定義から, 次の2つの場合の放物線の方程式を証明する.
◆焦点が\(x\)軸上にある場合の放物線の方程式
\(p\ne0\)とする. 点\({\rm{F}}(p,0)\)を焦点とし, 直線\(\ell : x=-p\)を準線とする放物線の方程式は, $$y^2=4px$$ である.

\(q\ne0\)とする. 点\({\rm{F}}(0,q)\)を焦点とし, 直線\(\ell : y=-q\)を準線とする放物線の方程式は, $$x^2=4qy$$ である.

以上より,次も分かる.
放物線\(y=ax^2\)の, 焦点は\(\left(0,\displaystyle\frac{1}{4a}\right)\)であり, 準線は,直線\(y=-\displaystyle\frac{1}{4a}\)である.