放物線 – gleamath.com

平面上で，定点${\rm{F}}$と， ${\rm{F}}$を通らない定直線$\ell$からの距離が等しい点${\rm{P}}$の軌跡を 放物線という．また，定点${\rm{F}}$をその放物線の焦点といい，定直線$\ell$を準線という．

放物線の定義から，次の２つの場合の放物線の方程式を証明する．

◆焦点が$x$軸上にある場合の放物線の方程式

$p\ne0$とする．点${\rm{F}}(p,0)$を焦点とし，直線$\ell : x=-p$を準線とする放物線の方程式は， $$y^2=4px$$ である．

◆焦点が$y$軸上にある場合の放物線の方程式

$q\ne0$とする．点${\rm{F}}(0,q)$を焦点とし，直線$\ell : y=-q$を準線とする放物線の方程式は， $$x^2=4qy$$ である．

以上より，次も分かる．

放物線$y=ax^2$の，焦点は$\left(0,\displaystyle\frac{1}{4a}\right)$であり，準線は，直線$y=-\displaystyle\frac{1}{4a}$である．

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