定義． 鋭角三角形\({\rm{ABC}}\)において，
- 頂点\({\rm{A,B,C}}\)から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ， \({\rm{H}}_1,{\rm{H}}_2,{\rm{H}}_3\)とする． このとき，\(\bigtriangleup{\rm{H}}_1{\rm{H}}_2{\rm{H}}_3\) を\(\bigtriangleup{\rm{ABC}}\)の 垂足三角形といい， 以下では， \(\bigtriangleup\mathcal{H}\) で表す．
- 外接円の 頂点\({\rm{A,B,C}}\)における接線をそれぞれ \(\ell_{\rm{A}},\ell_{\rm{B}},\ell_{\rm{C}}\) とし， \(\ell_{\rm{B}}\)と\(\ell_{\rm{C}}\)， \(\ell_{\rm{C}}\)と\(\ell_{\rm{A}}\)， \(\ell_{\rm{A}}\)と\(\ell_{\rm{B}}\) の交点をそれぞれ， \({\rm{T}}_1,{\rm{T}}_2,{\rm{T}}_3\)とする． \(\bigtriangleup{\rm{T}}_1{\rm{T}}_2{\rm{T}}_3\) を以下では， \(\bigtriangleup\mathcal{T}\) で表す．
- 頂角\({\rm{A,B,C}}\)内の傍心をそれぞれ， \({\rm{I_A,I_B,I_C}}\)とし，これらを中心とする傍接円もまた同じ記号で表す． 傍接円\({\rm{I_B}}\)と\({\rm{I_C}}\)， \({\rm{I_C}}\)と\({\rm{I_A}}\)， \({\rm{I_A}}\)と\({\rm{I_B}}\) の外側共通接線 （ \(4\)本の共通接線のうち， \(\bigtriangleup{\rm{ABC}}\)の各辺の延長線でないもの． ）をそれぞれ， \(\ell’_{\rm{A}},\ell’_{\rm{B}},\ell’_{\rm{C}}\) とし， \(\ell’_{\rm{B}}\)と\(\ell’_{\rm{C}}\)， \(\ell’_{\rm{C}}\)と\(\ell’_{\rm{A}}\)， \(\ell’_{\rm{A}}\)と\(\ell’_{\rm{B}}\) の交点をそれぞれ， \({\rm{E}}_1,{\rm{E}}_2,{\rm{E}}_3\)とする． \(\bigtriangleup{\rm{E}}_1{\rm{E}}_2{\rm{E}}_3\) を以下では， \(\bigtriangleup\mathcal{E}\) で表す．
命題．
\(3\)つの三角形
\(\bigtriangleup\mathcal{H}\)，
\(\bigtriangleup\mathcal{T}\)，
\(\bigtriangleup\mathcal{E}\)
の対応する各辺はそれぞれ平行であり，
これらの三角形は相似である．
