まず具体例として， \(A\)と書かれた玉４つと， \(B\)と書かれた玉３つと， \(C\)と書かれた玉２つの合計９個の玉を並べる並べ方の総数 が， $$\frac{{_9}{\rm{P}}_9}{{_4}{\rm{P}}_4\cdot{_3}{\rm{P}}_3\cdot{_2}{\rm{P}}_2} =\frac{9!}{4!3!2!}$$ になることを解説する．
そして一般の場合には，次が成り立つことを証明する．
\(A_1\)と書かれた玉が\(p_1\)個，
\(A_2\)と書かれた玉が\(p_2\)個，
\(\cdots\)，
\(A_m\)と書かれた玉が\(p_m\)個
の合計\(n=p_1+p_2+\cdots+p_m\)
の玉があるとする．
これら\(n\)個を並べて作った順列の総数は，
$$\frac{n!}{p_1!p_2!\cdots p_m!}
=\frac{(p_1+p_2+\cdots+p_m)!}{p_1!p_2!\cdots p_m!}
$$
である．
そして最後に，並べるものが\(n\)個全てではなく， \(r\)個（\(r< n\)）の場合を証明する．
上と同じ状況で，\(m\)種類\(n\)個の玉のうち\(r\)個を選んで並べて作った順列の総数は，
$$
\sum_{(p_1′, p_2′, \cdots, p_m’)}\frac{r!}{p_1′!p_2′!\cdots p_m’!}
=\sum_{(p_1′, p_2′, \cdots, p_m’)}\frac{(p_1’+p_2’+\cdots+p_m’)!}{p_1′!p_2′!\cdots p_m’!}
$$
である．
ただし，
和\(\sum\)
は，
\(r=p_1’+p_2’+\cdots+p_m’\)であり，
各\(i=1,2,\cdots,m\)に対して，
\(0\leq p_i’\leq p_i\)
を満たす全ての組み\((p_1′, p_2′, \cdots, p_m’)\)
をわたるものとする．
