ある事象\(A\)の起こる場合の数 \(=\) 集合\(A\)の要素の個数
が成り立ち，これらを\(n(A)\)と表すのであった．
それでは，確率を定義しよう．
- １つの試行において， どの根元事象も同じ程度起こることが期待されるとき， これらの根元事象は， 同様に確からしいという．
-
全事象\(U\)のどの根元事象も同様に確からしいとき，
事象\(A\)の確率を次のように定め，これを\(P(A)\)で表す：
$$ \mbox{事象}A\mbox{の確率} =\frac{\mbox{事象}A\mbox{の起こる場合の数}}{\mbox{全事象}U\mbox{の起こる場合の数}} $$すなわち， $$ P(A)=\frac{n(A)}{n(U)} $$ と定める．
次の確率の基本性質を証明する．
ある試行において，
全事象を\(U\)，空事象を\(\emptyset\)とする．
このとき，
任意の事象\(A,B\)に対して，
次が成り立つ．
これらは，集合の要素の個数に関する結果を用いて簡単に証明できる．
- \(0\leq P(A)\leq 1\) であり，特に， \(P(\emptyset)=0\)，\(P(U)=1\)．
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\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)
特に，\(A\)と\(B\)が互いに排反であるとき， \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\)． - \(P(\overline{A})=1-P(A)\)．
最後に確率の定義にある「同様に確からしい」という言葉の注意として， 確率を考える際に「同様に確からしい根元事象」を正確に考えることの 重要性を簡単な例題を用いて解説する．
