二次方程式の解と判別式

高校数学By gleamath
虚数単位\(i\)を定義したことによって， 次のように負の数の平方根 を求めることができるようになった． \(a\)を正の実数として， ２次方程式 $$ x^2=-a $$ の解を考える． \(a>0\)なので， \(\sqrt{a}\) を考えることができることができるが， $$(\sqrt{a}\hspace{1pt}i)^2=\sqrt{a}^2\cdot i^2=a\cdot(-1)=-a$$ と計算できることから， \(\sqrt{a}i\)は，\(-a\)の平方根である． また同様にして，\((-\sqrt{a}i)^2=-a\)が成り立つので， \(-\sqrt{a}i\)も\(-a\)の平方根である．
記号\(\sqrt{\hspace{5pt}}\)は， 「（２つある）平方根の正の方」と定義されていたので， 上の結果から， 負の数の平方根を次のように定義しても問題ない．

\(i\)を虚数単位として， \(a>0\)とする． このとき，負の数の平方根を次のように定める： $$\sqrt{-a}=\sqrt{a}i.$$

以上の結果は 重要なので，改めてまとめておく．

\(i\)を虚数単位として，\(a>0\)とする．このとき， \(-a\)の平方根は，\(\pm\sqrt{-a}=\pm\sqrt{a}i\)である．


このようにして，虚数解というものを考えることができるようになったので， 今まで，二次方程式の判別式の値が負であれば 「（実数）解なし」と結論付けていたところを， 次のように考えることができるようになった．

  • \(D >0 \Longleftrightarrow \mbox{異なる２つの実数解をもつ}\)

  • \(D=0 \Longleftrightarrow \mbox{重解（実数解）をもつ}\)

  • \(D< 0 \Longleftrightarrow \mbox{異なる２つの虚数解をもつ}\)




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