二次方程式の解と判別式

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虚数単位\(i\)を定義したことによって, 次のように負の数の平方根 を求めることができるようになった. \(a\)を正の実数として, 2次方程式 $$ x^2=-a $$ の解を考える. \(a>0\)なので, \(\sqrt{a}\) を考えることができることができるが, $$(\sqrt{a}\hspace{1pt}i)^2=\sqrt{a}^2\cdot i^2=a\cdot(-1)=-a$$ と計算できることから, \(\sqrt{a}i\)は,\(-a\)の平方根である. また同様にして,\((-\sqrt{a}i)^2=-a\)が成り立つので, \(-\sqrt{a}i\)も\(-a\)の平方根である.
記号\(\sqrt{\hspace{5pt}}\)は, 「(2つある)平方根の正の方」と定義されていたので, 上の結果から, 負の数の平方根を次のように定義しても問題ない.

\(i\)を虚数単位として, \(a>0\)とする. このとき,負の数の平方根を次のように定める: $$\sqrt{-a}=\sqrt{a}i.$$

以上の結果は 重要なので,改めてまとめておく.

\(i\)を虚数単位として,\(a>0\)とする.このとき, \(-a\)の平方根は,\(\pm\sqrt{-a}=\pm\sqrt{a}i\)である.


このようにして,虚数解というものを考えることができるようになったので, 今まで,二次方程式の判別式の値が負であれば 「(実数)解なし」と結論付けていたところを, 次のように考えることができるようになった.
  • \(D >0 \Longleftrightarrow \mbox{異なる2つの実数解をもつ}\)

  • \(D=0 \Longleftrightarrow \mbox{重解(実数解)をもつ}\)

  • \(D< 0 \Longleftrightarrow \mbox{異なる2つの虚数解をもつ}\)




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