\(n\)を正の整数とする．
実数
\(a_i,b_i,p_i\)（\(i=1,2,\cdots,n\)）に対して，
$$
\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots=\frac{a_n}{b_n}=k
$$
が成り立つならば，
$$
\frac{p_1a_1+p_2a_2+\cdots+p_na_n}{p_1b_1+p_2b_2+\cdots+p_nb_n}=k
$$
が成り立つ．
次に加比の理の不等式版を紹介する． こちらも証明と合わせて知っておくと良い．
\(n\)を正の整数とする．
正の実数
\(a_i,b_i,p_i\)（\(i=1,2,\cdots,n\)）に対して，
\begin{equation}\label{ineq}
\frac{a_1}{b_1}\leq\frac{a_2}{b_2}\leq\cdots\leq\frac{a_n}{b_n}
\end{equation}
が成り立つならば，
$$
\frac{a_1}{b_1}\leq\frac{p_1a_1+p_2a_2+\cdots+p_na_n}{p_1b_1+p_2b_2+\cdots+p_nb_n}\leq\frac{a_n}{b_n}
$$
が成り立つ．
等号が成立するのは，
仮定の不等式の等号がすべて成り立つときである．
最後に，加比の理とその不等式版の図形的な解釈を紹介する． これを知っていれば，これらの定理が当たり前であることがわかるだろう．
$$
\frac{a}{b}
\hspace{10pt}\longleftrightarrow\hspace{10pt}
y=\frac{a}{b}x
\mbox{のグラフの傾き}
\hspace{10pt}\longleftrightarrow\hspace{10pt}
\mbox{２点}
(0,0), (b,a)
\mbox{を通る直線の傾き}
$$
という対応を考えることで，
条件式を図形的に捉えることができる．
\(\displaystyle\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=k\)は， ３点\((0,0), (b_1,a_1), (b_2,a_2)\)が， 同一直線（\(y=kx\)）上にあるということであり， このとき， 点 \((p_1b_1+p_2b_2,p_1a_1+p_2b_2)\)も 同じ直線上にあることがわかる．
\(k_1=\displaystyle\frac{a_1}{b_1} < \frac{a_2}{b_2}=k_2\)， \(\displaystyle\frac{p_1a_1+p_2a_2}{p_1b_1+p_2b_2}=k\)とすると， 直線\(y=kx\)は，下図のような平行四辺形の対角線である． 直線の傾きを比較すると， \( k_1 < k < k_2 \)が従う．
