命題．
\(f(n),\ g(n)\)を\(n\)の関数とし，
任意の\(n\geq1\)に対して，
\(f(n)\ne0\)であるとする．
漸化式
- \(a_1=a\)
- \(a_{n+1}=f(n)a_n+g(n)\)
$$
a_n=a\prod_{k=1}^{n-1}f(k)
+\frac{1}{f(n)}\sum_{l=2}^{n}g(l-1)\prod_{k=l}^{n}f(k)
\hspace{15pt}
(n\geq2)
$$
と表せる．
次のような特別な場合には， 一般項はもっと簡単に表せる．
系．
上の命題の状況で，
さらに\(a=g(0)\)であるなら，
数列\(\{a_n\}\)の一般項は
$$
a_n
=\frac{1}{f(n)}\sum_{l=1}^{n}g(l-1)\prod_{k=l}^{n}f(k)
$$
と表せる．（これは\(n\geq1\)に対して成り立つ．）
