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２円の交点を通る図形の方程式

高校数学By gleamath

２つの円が異なる２点で交わる場合，その２つの共有点を通る図形（直線もしくは円に限る）について考察する．通る２点の情報だけでは，円は１つに決まらないが，変数

$k$ を用いて，これらの直線や円たちを統一して記述することができる．

２つの円

$C_1: x^2+y^2+l_1x+m_1y+n_1=0,$

$C_2: x^2+y^2+l_2x+m_2y+n_2=0$ が異なる２点で交わっているとする．このとき，任意の実数

$k$ に対して，方程式

$k(x^2+y^2+l_1x+m_1y+n_1)+x^2+y^2+l_2x+m_2y+n_2=0$

は，次のような図形を表す．

$k=-1$ のとき， $C_1$ と $C_2$ の２交点を通る直線，
$k\ne-1$ のとき， $C_1$ と $C_2$ の２交点を通る円．

逆に，この２交点を通る円（円

$C_1$ を除く）は，ある

$k$ が存在して，上の形の方程式で表すことができる．

証明を読むための予備知識としては，円の方程式，２円の関係が必要である．

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