\(\bullet\) ２直線 \(\ell_1 : y= m_1x+n_1\)， \(\ell_2 : y= m_2x+n_2\) について，
\(\bullet\) ２直線 \(\ell_1 : a_1x+b_1y+c_1=0\)， \(\ell_2 : a_2x+b_2y+c_2=0\) について，
\(\ell_1, \ell_2\)が平行
\(
\Longleftrightarrow
\hspace{5pt}
-\displaystyle\frac{a_1}{b_1}=-\frac{a_2}{b_2}
\hspace{5pt}
\Longleftrightarrow
\hspace{5pt}
a_1b_2-a_2b_1=0
\hspace{5pt}
\Longleftrightarrow
\hspace{5pt}
a_1:b_1=a_2:b_2
\)
\(\ell_1, \ell_2\)が垂直
\(
\Longleftrightarrow
\hspace{5pt}
\left(-\displaystyle\frac{a_1}{b_1}\right)
\left(-\displaystyle\frac{a_2}{b_2}\right)
=-1
\hspace{5pt}
\Longleftrightarrow
\hspace{5pt}
a_1a_2+b_1b_2=0
\hspace{5pt}
\Longleftrightarrow
\hspace{5pt}
a_1:b_1=b_2:-a_2
\)
最後に次の命題を証明する．
点\((x_1,y_1)\)を通り，
直線\(\ell:ax+by+c=0\)に平行，垂直な直線の方程式は，
それぞれ，
平行：
\(a(x-x_1)+b(y-y_1)=0\)
垂直：
\(b(x-x_1)-a(y-y_1)=0\)
である．
