３次関数の対称性

本稿では，３次関数の対称性に関する次の命題を証明する．

命題． $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\ (a\ne0)$とする．このとき，次が成り立つ．

$\bullet$ 曲線$C:y=f(x)$は，変曲点${\rm{P}}\left(-\frac{b}{3a},f(-\frac{b}{3a})\right)$に関して対象である．

$\bullet$ 曲線$C:y=f(x)$上の点${\rm{A}}(\alpha,f(\alpha))$における接線$\ell$が，${\rm{A}}$とは異なる点${\rm{B}}(\beta,f(\beta))$ で，曲線$C$と交わっているとする．このとき， $$\frac{2\alpha+\beta}{3}=-\frac{b}{3a}$$が成り立つ．すなわち，線分${\rm{AB}}$を$1:2$に内分する点の$x$座標と，変曲点${\rm{P}}$の$x$座標が一致する．

さらに，３次関数が極値を持つとし，上の命題の極点における接線を考えることにより，下図のように，極点，変曲点，極点における接線の交点を $x$軸上に射影した点は等間隔に並んでいることを証明する．

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