3次関数の対称性

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本稿では,3次関数の対称性に関する次の命題を証明する.
命題. \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\ (a\ne0)\)とする. このとき,次が成り立つ.

\(\bullet\) 曲線\(C:y=f(x)\)は, 変曲点\({\rm{P}}\left(-\frac{b}{3a},f(-\frac{b}{3a})\right)\)に関して対象である.
\(\bullet\) 曲線\(C:y=f(x)\)上の点\({\rm{A}}(\alpha,f(\alpha))\)における 接線\(\ell\)が,\({\rm{A}}\)とは異なる点\({\rm{B}}(\beta,f(\beta))\) で,曲線\(C\)と交わっているとする.このとき, $$\frac{2\alpha+\beta}{3}=-\frac{b}{3a}$$が成り立つ. すなわち, 線分\({\rm{AB}}\)を\(1:2\)に内分する点の\(x\)座標と,変曲点\({\rm{P}}\)の\(x\)座標が一致する.


さらに,3次関数が極値を持つとし, 上の命題の極点における接線を考えることにより, 下図のように,極点,変曲点,極点における接線の交点を \(x\)軸上に射影した点は等間隔に並んでいることを証明する.


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