剰余加群の普遍性

$A$を（単位元を持つ）可換環とし， ${\bf{A\mbox{-}Mod}}$を$A$加群の圏とする． ${\bf{A\mbox{-}Mod}}$の対象$M,N$に対して， $M$から$N$への射$M\to N$全体の集合を ${\rm{Hom}}_A(M,N)$で表す．集合全体のなす圏を${\bf{Set}}$で表す．

$N$を$A$加群， $M$を$N$の部分加群とし， $$i:M\to N$$ を包含写像とする． $M$による$N$の剰余加群を$N/M$で表し， $$p:N\to N/M$$ を標準全射とする． $N$が表現する関手 $h^N:{\bf{A\mbox{-}Mod}}\to{\bf{Set}}$の部分関手 ${\rm{Ker}}\ i^*$を $A$加群$W$に対して，

$$ {\rm{Ker}}\ i^*(W) ={\rm{Ker}}(i^*:{\rm{Hom}}_A(N,W)\to{\rm{Hom}}_A(M,W)) $$

で定める．ここで， $f\in{\rm{Hom}}_A(N,W)$に対して， $i^*(f)=f\circ i\in{\rm{Hom}}_A(M,W)$ である．

定理. 関手の同型 $$ p^*:h^{N/M}\to{\rm{Ker}}\ i^* $$ が存在する．

定義.
定理の関手の同型$p^*$が存在することを剰余加群の普遍性 という．

定義.
$C$を圏とし， $F:C\to{\bf{Set}}$を関手とする． $C$の対象$X$と関手の同型 $h^X\to F$が存在するとき， $F$は$X$で表現される（表現可能である） という．また，この同型により， $1_X\in h^X(X)$に対応する $F(X)$の元を， $F$の普遍元という．

注意.
剰余加群の普遍性とは， 剰余加群$N/M$が関手${\rm{Ker}}\ i^*$を表現することと言っても同じことである．普遍元は，標準全射 $p\in{\rm{Hom}}_A(N,N/M)$である．

定理の証明はこちら
PDF

この記事は， [斎藤2020] を参考にさせていただいています．