ここでは，ベクトルを用いて加重重心を考察する． 以下の仮定の点\({\rm{P}}\)が加重重心である．
仮定． \(a,b,c>0\)とする． \(\bigtriangleup\rm{ABC}\)の内部の点\(\rm{P}\)が $$ a\overrightarrow{\rm{PA}} +b\overrightarrow{\rm{PB}} +c\overrightarrow{\rm{PC}} =\overrightarrow{0} $$ を満たしていると仮定する．
まずは， 感覚的に加重重心が捉えやすいであろう結果を紹介する．
仮定の状況において， \(\bigtriangleup\rm{PBC},\bigtriangleup\rm{PCA},\bigtriangleup\rm{PAB}\) の面積比は， \(a:b:c\)である．
次に辺の比や加重重心の座標に関する２つの結果を紹介する．
仮定の状況において， それぞれの線分の内分点に対して， 下図のように比が定まる．
注意．
たくさんの線分の比をいつの図にまとめたので，
ややこしくなってしまったが，
例えば，
図の通り，
\({\rm{AF}}:{\rm{FB}}\)
は，
\(b:a\)
であるが，
\({\rm{EC}}:{\rm{CD}}\)
は，
\(a:b\)
ではない．
上で「線分の内分点」と付け加えたのは，このような意味である．
仮定の状況において， ３点\({\rm{A,B,C}}\)の座標をそれぞれ， \((a_1,a_2), (b_1,b_2), (c_1,c_2)\)とする． このとき， 点\({\rm{P}}\)の座標は， $$\left( \displaystyle\frac{aa_1+bb_1+cc_1}{a+b+c}, \displaystyle\frac{aa_2+bb_2+cc_2}{a+b+c} \right)$$ である．
