定義． \(C\)を圏とする．
- 反変関手\(C^{\rm{op}}\to{\bf{Set}}\) を \(C\)上の前層という．
- \(C\)上の前層全体のなす圏を \(C^\wedge\) で表す．
\(A\)を圏\(C\)の対象とする． \(h_A:C^{\rm{op}}\to{\bf{Set}}, \hspace{5pt} h^A:C\to{\bf{Set}}\) を \(A\)によって 表現される関手 とする．
定理（米田の補題）．
\(C\)を圏とし，
\(A\)を\(C\)の対象とする．
-
\(F\)を\(C\)上の前層とする．
\(a\in F(A)\)と，
\(C\)の対象\(X\)に対して，写像
$$ a_X : h_A(X)={\rm{Hom}}_C(X,A)\to F(X) \ ;\ f\mapsto F(f)(a) $$は，\(C\)上の前層の射 \(\varphi_a\in{\rm{Hom}}_{C^\wedge}(h_A,F)\) を定める． さらに，写像$$ F(A)\to{\rm{Hom}}_{C^\wedge}(h_A,F) \ ;\ a\mapsto \varphi_a $$は可逆である． 逆写像は，$$ {\rm{Hom}}_{C^\wedge}(h_A,F)\to F(A) \ ;\ \varphi\mapsto \varphi(A)(1_A) $$である． （\(1_A:A\to A\)は単位射）
-
\(F\)を\(C^{\rm{op}}\)上の前層とする．
\(a\in F(A)\)と，
\(C\)の対象\(X\)に対して，写像
$$ a_X : h^A(X)={\rm{Hom}}_C(A,X)\to F(X) \ ;\ f\mapsto F(f)(a) $$は，\(C^{\rm{op}}\)上の前層の射 \(\varphi^a\in{\rm{Hom}}_{{C^{\rm{op}}}^\wedge}(h^A,F)\) を定める． さらに，写像$$ F(A)\to{\rm{Hom}}_{{C^{\rm{op}}}^\wedge}(h^A,F) \ ;\ a\mapsto \varphi^a $$は可逆である． 逆写像は，$$ {\rm{Hom}}_{{C^{\rm{op}}}^\wedge}(h^A,F)\to F(A) \ ;\ \varphi \mapsto \varphi(A)(1_A) $$である．
この記事は， [斎藤2020] を参考にさせていただいています．
