定義. \(C\)を圏とする.
- 反変関手\(C^{\rm{op}}\to{\bf{Set}}\) を \(C\)上の前層という.
- \(C\)上の前層全体のなす圏を \(C^\wedge\) で表す.
\(A\)を圏\(C\)の対象とする. \(h_A:C^{\rm{op}}\to{\bf{Set}}, \hspace{5pt} h^A:C\to{\bf{Set}}\) を \(A\)によって 表現される関手 とする.
定理(米田の補題).
\(C\)を圏とし,
\(A\)を\(C\)の対象とする.
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\(F\)を\(C\)上の前層とする.
\(a\in F(A)\)と,
\(C\)の対象\(X\)に対して,写像
$$ a_X : h_A(X)={\rm{Hom}}_C(X,A)\to F(X) \ ;\ f\mapsto F(f)(a) $$は,\(C\)上の前層の射 \(\varphi_a\in{\rm{Hom}}_{C^\wedge}(h_A,F)\) を定める. さらに,写像$$ F(A)\to{\rm{Hom}}_{C^\wedge}(h_A,F) \ ;\ a\mapsto \varphi_a $$は可逆である. 逆写像は,$$ {\rm{Hom}}_{C^\wedge}(h_A,F)\to F(A) \ ;\ \varphi\mapsto \varphi(A)(1_A) $$である. (\(1_A:A\to A\)は単位射)
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\(F\)を\(C^{\rm{op}}\)上の前層とする.
\(a\in F(A)\)と,
\(C\)の対象\(X\)に対して,写像
$$ a_X : h^A(X)={\rm{Hom}}_C(A,X)\to F(X) \ ;\ f\mapsto F(f)(a) $$は,\(C^{\rm{op}}\)上の前層の射 \(\varphi^a\in{\rm{Hom}}_{{C^{\rm{op}}}^\wedge}(h^A,F)\) を定める. さらに,写像$$ F(A)\to{\rm{Hom}}_{{C^{\rm{op}}}^\wedge}(h^A,F) \ ;\ a\mapsto \varphi^a $$は可逆である. 逆写像は,$$ {\rm{Hom}}_{{C^{\rm{op}}}^\wedge}(h^A,F)\to F(A) \ ;\ \varphi \mapsto \varphi(A)(1_A) $$である.
この記事は, [斎藤2020] を参考にさせていただいています.