$\sqrt{\mbox{２次式}}$は平面上の距離と見れる

次のような問題を考える．

次の最小値を求めよ．

$F(x)=\sqrt{x^2-6x+10}+\sqrt{x^2-2x+5}\hspace{5pt}(x\in\mathbb{R})$

最小値と言われると微分したくなるが，それよりも，平面上の２点

${\rm{A}}(a_1,a_2)$ ，

${\rm{B}}(b_1,b_2)$ の距離の公式が

${\rm{AB}}=\sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2}$ という形をしていたことを思い出すと，

$F(x)$ の一部がこの公式の形をしていることに気づくだろう．結果的に，この問題は，平面上の３点を

${\rm{P}}(x,0)$ ，

${\rm{A}}(3,1)$ ，

${\rm{B}}(1,-2)$ としたとき，

${\rm{AB}}$ の距離を求める問題に帰着される．

上の問題を解答したあと，次のように一般化した問題を考える．

$j=1,2$ に対して，

$f_j(x)=x^2+b_jx+c_j$ とする．このとき，次の最小値を求めよ．

$\sqrt{f_1(x)}+\sqrt{f_2(x)}\hspace{5pt}(x\in\mathbb{R})$ ただし，

$f_j(x)$ の判別式

$D_j=b_j^2-4c_j$ の値は共に

$0$ 以下であるとする．

判別式の値が正であれば，

$\sqrt{f_j(x)}$ が複素数となる

$x$ が存在する．複素数に大小関係はないので，この仮定は問題の一般化を考える上で正当である．

結論を述べると，

$j=1,2$ に対して，二次方程式

$f_j(x)=0$ の（虚数）解のうち，虚部の値が正のものをそれぞれ

$\alpha_j$ とすると，求める最小値は，

$\mid\alpha_1-\overline{\alpha_2}\mid$ と書ける．
実数

$x$ に対して，

$\sqrt{f_1(x)}+\sqrt{f_2(x)}$ の最小値が，２つの二次方程式

$f_j(x)=0$ の虚数解の距離として，記述できるというのは，驚くべき事実である．これは幾何的には，虚数解を三次元（

$y$ 軸，実軸

${\rm{Re}}(x)$ ，虚軸

${\rm{Im}}(x)$ を用いて記述することで明らかとなるが，詳細については， √２次式と虚数解の関係で解説する．

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