\(\sqrt{\mbox{2次式}}\)と虚数解との関係

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本稿の動機は,次の命題の幾何的な意味を考えることである.
\(f(x)=x^2+bx+c\) \((b,c\in\mathbb{R})\)とし, 判別式\(D=b^2-4c\leq0\)を仮定する. 二次方程式\(f(x)=0\)の解のひとつを\(\alpha\)とするとき, 次が成り立つ. $$ \sqrt{f(x)} \hspace{5pt}=\hspace{5pt}\mid x-\alpha\mid $$

\(\sqrt{f(x)}\)は, 二次関数\(y=f(x)\)の高さ (右図を参照)の根号をとったものであり,



\(\mid x-\alpha \mid\)は, 二次方程式\(f(x)=0\)の解\(\alpha\)と, 点\(x\)との距離である.


命題の等式

$$\sqrt{f(x)}=\mid x-\alpha \mid$$

は,これら2つを結びつけるものと解釈すると,とても興味深い.
ここでは,3次元空間を用いて, 二次方程式の虚数解を図示する ことで, このことについて解説する.
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