まずは，正三角形では，五心のうち傍心を除く４つの点が一致することを証明する．
定理．
正三角形において，
外心，内心，重心，垂心は一致する．
五心は全て三角形に対して定義される３直線の交点として定義されるが，
正三角形においては，それらの直線が等しいことを言えばよい．
また傍心についての結果にも触れる．
定理．
正三角形\(\bigtriangleup{\rm{ABC}}\)において， 頂角\({\rm{A}}\)内の傍心は， その対辺\({\rm{BC}}\)に関して， 頂点\({\rm{A}}\)と対称な位置にある． 他の頂角内の傍心についても同様である．
正三角形\(\bigtriangleup{\rm{ABC}}\)において， 頂角\({\rm{A}}\)内の傍心は， その対辺\({\rm{BC}}\)に関して， 頂点\({\rm{A}}\)と対称な位置にある． 他の頂角内の傍心についても同様である．
最後に， 最初の定理の逆を考察する． すなわち，外心，内心，重心，垂心が一致する三角形は， 正三角形であるかという問いを考える． これについては， ４点が一致している必要はなく， ２点が一致していれば十分であるというのが次の定理である．
定理．
ある三角形において，
外心，内心，重心，垂心のうち２点が一致するとき，
この三角形は正三角形である．
（すなわち，他の２点も一致する．）
証明は，２段階で行う．
まず補題として，次を示す．
補題． \(\bigtriangleup{\rm{ABC}}\)において， 頂点\({\rm{A}}\)を通る直線であって， 次の３つの性質のうち２つを満たすものが存在するとき， \(\bigtriangleup{\rm{ABC}}\)は， 辺\({\rm{BC}}\)を底辺とする二等辺三角形である．
- （性質１） 頂点\({\rm{A}}\)の内角を二等分する．
- （性質２） 辺\({\rm{BC}}\)と垂直である．
- （性質３） 辺\({\rm{BC}}\)を二等分する．
その次に， 外心，内心，重心，垂心を定義する直線が， それぞれ次のように上の補題の性質を備えていることから
- 辺\({\rm{BC}}\)の垂直二等分線は，補題の性質２,３を満たす． （頂点\({\rm{A}}\)を通るかはわからない．）
- 頂点\({\rm{A}}\)の内角の二等分線は，頂点\({\rm{A}}\)を通り，補題の性質１を満たす．
- 頂点\({\rm{A}}\)から対辺\({\rm{BC}}\)に引いた中線は，頂点\({\rm{A}}\)を通り，補題の性質３を満たす．
- 頂点\({\rm{A}}\)から対辺\({\rm{BC}}\)に下ろした垂線は，頂点\({\rm{A}}\)を通り，補題の性質２を満たす．
