$a_{n+1}=pa_n+q_1n+q_0$型の漸化式

$p\ne0,1$とする．漸化式

で定まる数列$\{a_n\}$の一般項を求める．結果として，数列$\{a_n\}$の一般項は，

$$ a_n =ap^{n-1}+\frac{(q_1n+q_0)(1-p^{n-1})}{1-p} +q_1\left\{ \frac{(n-1)p^{n-1}}{1-p}-\frac{1-p^{n-1}}{(1-p)^2} \right\} $$

と表される．
さらに， $n\geq2$なら， $$ \sum_{k=1}^{n-1}kp^{k-1} =\frac{1-p^{n-1}}{(1-p)^2}-\frac{(n-1)p^{n-1}}{1-p} $$ が成り立つことを用いると， $\{a_n\}$の一般項は，

$$ a_n=ap^{n-1}+\frac{(q_1n+q_0)(1-p^{n-1})}{1-p} -q_1 \sum_{k=1}^{n-1}kp^{k-1} $$

と表せる（ただし，$n\geq2$）．

証明には， $a_{n+1}=pa_n+q$型の漸化式 (→)が用いられる．
さらなる一般化は，コチラ．

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