根軸とは， 同心円でない２つの円に対する 方べきの値 が等しい点の集まりのことをいう．
以下，同心円でない２つの円
$$C_1:(x-a_1)^2+(y-b_1)^2=r_1^2$$
$$C_2:(x-a_2)^2+(y-b_2)^2=r_2^2$$
を考える．
まず，次の命題を証明する．
- 同心円でない２つの円\(C_1\)，\(C_2\)の根軸は，直線である．
- 同心円でない２つの円\(C_1\)，\(C_2\)の根軸は，中心を結ぶ直線に対して垂直である．
- 交わらない場合
- 接する場合
- ２点で交わる場合
そして，最後に次の根軸定理を証明する．
根軸定理
どの２つも同心円でない３つの円
\(C_1\)，\(C_2\)，\(C_3\)を考える．
\(C_1\)と\(C_2\)，
\(C_2\)と\(C_3\)，
\(C_3\)と\(C_1\)の根軸をそれぞれ
\(\ell_{12}\)，\(\ell_{23}\)，\(\ell_{31}\)とする．
この時，
\(\ell_{12}\)，\(\ell_{23}\)，\(\ell_{31}\)は平行であるか，
１点で交わる．
後者の場合，
その点を根心と言う．
