実数の完備性

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ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理 を仮定して,次の定理を証明する.

定理(実数の完備性). 実数列が収束するための必要十分条件は, Cauchy列であることである.

ここで, 数列\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)が Cauchy列であるとは, 任意の\(\varepsilon > 0\)に対して, ある\(N\in\mathbb{N}\)が存在して, $$ m, n \geq N \Longrightarrow |a_m-a_n|<\varepsilon $$ が成り立つときをいう.


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この記事は, [黒田2018][杉浦1980] を参考にさせていただいています.