実数\(a < b\)に対して， 次に挙げる形の実数全体の集合\(\mathbb{R}\)の 部分集合と\(\mathbb{R}\)を全て合わせて 区間という．
$$ (a,b):=\{x\in\mathbb{R}\mid a< x< b\},$$ $$ (a,\infty):=\{x\in\mathbb{R}\mid a< x\},$$ $$ (-\infty,b):=\{x\in\mathbb{R}\mid x< b\},$$ $$ [a,b):=\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x< b\}, $$
$$ [a,b]:=\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x\leq b\},$$ $$ [a,\infty):=\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x\},$$ $$ (-\infty,b]:=\{x\in\mathbb{R}\mid x\leq b\},$$ $$ (a,b]:=\{x\in\mathbb{R}\mid a< x\leq b\}. $$
次に関数の連続性を定義する．連続性は関数の極限 を用いて定義される．
関数\(f(x)\)において， その定義域の点\(a\)に対して，
極限値\(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\)が存在し，
\(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\)が成り立つ
とき，
\(f(x)\)は\(x=a\)で連続であるという．
さらに，\(f(x)\)がその定義域の全ての点で連続であるとき，
\(f(x)\)は連続関数であるという．
高校数学で学習するほとんどの関数が連続関数であることを証明するために， まずは，連続関数の和差積商もまた連続関数であることを証明する．
関数\(f(x),g(x)\)が定義域の点\(a\)で連続ならば， 次の３つの関数も\(x=a\)で連続である． ただし，\(k,l\)は定数であり，商においては，\(g(a)\ne0\)とする． $$kf(x)+lg(x),$$ $$f(x)g(x),$$ $$\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}.$$
さらに連続関数の合成関数がまた連続関数であることも証明できる．
連続関数\(y=f(x), x=g(u)\)の定義域をそれぞれ，\(I, J\)とし， 任意の\(b\in J\)に対して，\(g(b)\in I\)が成り立っているとする． このとき，合成関数\(y=f(g(u))\)は連続関数である．
以上の結果より，
有理関数，無理関数，三角関数，指数関数，対数関数
