正三角形の五心

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三角形に対して,定義される五心 と呼ばれる特別は5つの点が, 正三角形に対してはどのようになるのかを考察する.

まずは,正三角形では,五心のうち傍心を除く4つの点が一致することを証明する.
定理. 正三角形において, 外心,内心,重心,垂心は一致する.
五心は全て三角形に対して定義される3直線の交点として定義されるが, 正三角形においては,それらの直線が等しいことを言えばよい.

また傍心についての結果にも触れる.
定理.
正三角形\(\bigtriangleup{\rm{ABC}}\)において, 頂角\({\rm{A}}\)内の傍心は, その対辺\({\rm{BC}}\)に関して, 頂点\({\rm{A}}\)と対称な位置にある. 他の頂角内の傍心についても同様である.


最後に, 最初の定理の逆を考察する. すなわち,外心,内心,重心,垂心が一致する三角形は, 正三角形であるかという問いを考える. これについては, 4点が一致している必要はなく, 2点が一致していれば十分であるというのが次の定理である.
定理. ある三角形において, 外心,内心,重心,垂心のうち2点が一致するとき, この三角形は正三角形である. (すなわち,他の2点も一致する.)
証明は,2段階で行う.
まず補題として,次を示す.

補題. \(\bigtriangleup{\rm{ABC}}\)において, 頂点\({\rm{A}}\)を通る直線であって, 次の3つの性質のうち2つを満たすものが存在するとき, \(\bigtriangleup{\rm{ABC}}\)は, 辺\({\rm{BC}}\)を底辺とする二等辺三角形である.
  • (性質1) 頂点\({\rm{A}}\)の内角を二等分する.
  • (性質2) 辺\({\rm{BC}}\)と垂直である.
  • (性質3) 辺\({\rm{BC}}\)を二等分する.

その次に, 外心,内心,重心,垂心を定義する直線が, それぞれ次のように上の補題の性質を備えていることから
  • 辺\({\rm{BC}}\)の垂直二等分線は,補題の性質2,3を満たす. (頂点\({\rm{A}}\)を通るかはわからない.)
  • 頂点\({\rm{A}}\)の内角の二等分線は,頂点\({\rm{A}}\)を通り,補題の性質1を満たす.
  • 頂点\({\rm{A}}\)から対辺\({\rm{BC}}\)に引いた中線は,頂点\({\rm{A}}\)を通り,補題の性質3を満たす.
  • 頂点\({\rm{A}}\)から対辺\({\rm{BC}}\)に下ろした垂線は,頂点\({\rm{A}}\)を通り,補題の性質2を満たす.
これら直線のうち,2直線が一致していることを示せば, それは,頂点\({\rm{A}}\)を通り,補題の3つの性質のうち2つを満たす直線であることがわかる. よって,補題から\({\rm{AB=AC}}\)が従う. また,どの場合においても, 頂点\({\rm{B}}\)と対辺\({\rm{AC}}\)に対しても同様に考えることができ, これから,\({\rm{BA=BC}}\)が従うので, \(\bigtriangleup{\rm{ABC}}\)は正三角形であることが従う.という流れである.


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