整式の割り算と分数式

除法の原理から， $A(x),B(x)$を$0$でない整式とすると， $$ A(x)=B(x)Q(x)+R(x) $$ を満たす整式$Q(x),R(x)$が一意的に存在する（ただし，$R(x)$は$0$であるか $B(x)$の次数より次数が低い整式）ので，この整式$Q(x)$と$R(x)$をそれぞれ， $A(x)$を$B(x)$で割ったときの商と余りと定義できる．

しかし，ここで定義した商は， 整式全体の集合の中での割り算の結果という意味であることに注意しなければならない．

例えば，整数全体の集合の中であれば，$7\div3$の商は$2$，余りは$1$であるが，有理数全体の集合においては，$7\div3$の商は$\frac{7}{3}$である．有理数が，$\frac{\mbox{整数}}{\mbox{整数}}$ のような，分数の形で表せる数であったのと同じように，分数式や有理式というものを次のように定義できる．

$A(x)$を整式，$B(x)$を次数が正の整式とするとき， $\displaystyle\frac{A(x)}{B(x)}$の形の式を 分数式という．
整式と分数式を合わせて， 有理式という．

分数式についても，分数と同じように約分が定義できる．これにより，矛盾なく四則演算が定義でき， 有理式全体の集合においては， $A(x)\div B(x)$の商は， $$\frac{A(x)}{B(x)}$$ となる．
このようなことを具体例を用いて説明する．

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