内積と直線

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本稿では,「内積が一定」ということについて考察する. 正確には,次を解説する.
原点を\({\rm{O}}\)とする座標平面上に 定点\({\rm{A}}(a,b)\)をとる. ある定数\(c\)があり,点\({\rm{P}}\)が, $$\overrightarrow{\rm{OA}}\cdot\overrightarrow{\rm{OP}}=-c$$ を満たしながら動くとき, 点\({\rm{P}}\)の軌跡の方程式は,次の通りである. $$ax+by+c=0$$
座標平面上において, 点\({\rm{A}}\)と直線\(ax+by+c=0\)の位置関係を イメージするには, 正射影ベクトル を考え, 内積を図形的なイメージを持つことが重要である.
直線の方程式の一般形である \(ax+by+c=0\)の形を (正確な言い方ではないが)

「定点と動点の内積が一定」

と解釈することができれば, 道が開けることも多い.
結論として, \(-c>0\)のとき, 点\({\rm{A}}\)と直線\(ax+by+c=0\)の位置関係は, 下図のようになる. ただし,\({\rm{OH}}=\displaystyle\frac{|c|}{{\rm{OA}}}\)である.

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