数列の極限（$\varepsilon-N$論法）定義と基本極限

数列の極限で扱った内容について，

$\varepsilon-N$ 論法を用いた厳密な議論を紹介する．

高校数学において，数列の極限は，「限りなく近づくとき⋯」のような曖昧な表現を使って定義されるのであった．これを厳密に定義すると次のようになる：

数列

$\{a_n\}_{n=1}^\infty$ において，任意の正数

$\varepsilon$ に対して，ある自然数

$N$ が存在して，

$n > N \mbox{ である全ての}n\mbox{に対して，} \mid a_n-\alpha\mid<\varepsilon$

が成り立つとき，

$\alpha$ を 数列 $\{a_n\}$ の極限値 といい，

$\alpha=\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$ と表す．またこのとき，数列

$\{a_n\}$ は，

$\alpha$ に 収束する ともいう．

また数列が発散する場合は，次のように定義される．

数列

$\{a_n\}_{n=1}^\infty$ において，

任意の実数 $K > 0$ に対して，ある自然数 $N$ が存在して，
$n > N \mbox{ である全ての}n\mbox{に対して，} a_n > K$
が成り立つとき， {数列 $\{a_n\}$ は正の無限大に発散する といい， $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$ と表す．
任意の実数 $K<0$ に対して，ある自然数 $N$ が存在して，
$n > N \mbox{ である全ての}n\mbox{に対して，} a_n < K$
が成り立つとき， 数列 $\{a_n\}$ は負の無限大に発散する といい， $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty$ と表す．
収束せず，正の無限大にも，負の無限大にも発散しないとき， 数列 $\{a_n\}$ は振動する という．

この記事では，数列

$\{a_n\}$ において，

$\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$ や，

$\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$ などを定義し，次の基本極限を証明する．

$k > 0$ のとき，次が成り立つ．

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この記事は， [黒田2018] を参考にさせていただいています．