高校数学において，数列の極限は， 「限りなく近づくとき⋯」のような曖昧な表現を使って 定義されるのであった． これを厳密に定義すると次のようになる：
数列\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)において，
任意の正数\(\varepsilon\)に対して，
ある自然数\(N\)が存在して，
また数列が発散する場合は，
次のように定義される．
$$
n > N
\mbox{ である全ての}n\mbox{に対して，}
\mid a_n-\alpha\mid<\varepsilon
$$
が成り立つ
とき，
\(\alpha\)を
数列\(\{a_n\}\)の極限値
といい，
\(\alpha=\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n\)
と表す．
またこのとき，
数列\(\{a_n\}\)は，\(\alpha\)に
収束する
ともいう．
数列\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)において，
-
任意の実数\(K > 0\)に対して，
ある自然数\(N\)が存在して，
$$ n > N \mbox{ である全ての}n\mbox{に対して，} a_n > K $$が成り立つ とき， {数列\(\{a_n\}\)は正の無限大に発散する といい， \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\infty\) と表す．
-
任意の実数\(K<0\)に対して，
ある自然数\(N\)が存在して，
$$ n > N \mbox{ である全ての}n\mbox{に対して，} a_n < K $$が成り立つ とき， 数列\(\{a_n\}\)は負の無限大に発散する といい， \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty\) と表す．
- 収束せず， 正の無限大にも， 負の無限大にも発散しないとき， 数列\(\{a_n\}\)は振動する という．
この記事では， 数列\(\{a_n\}\)において， \(\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\) や， \(\lim_{n\to\infty}a_n=\infty\) などを定義し， 次の基本極限を証明する．
\(k > 0\)のとき，次が成り立つ．
\(\lim_{n\to\infty}n^k=\infty\)
\(\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{1}{n^k}=0\)
この記事は， [黒田2018] を参考にさせていただいています．
