「1．数列の極限（ε-N論法）定義と基本極限」で学んだように， 数列の収束は，厳密に次のように定義されるのであった．
数列\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)において，
任意の正数\(\varepsilon\)に対して，
ある自然数\(N\)が存在して，
$$
n > N
\mbox{ である全ての}n\mbox{に対して，}
\mid a_n-\alpha\mid<\varepsilon
$$
が成り立つ
とき，
\(\alpha\)を
数列\(\{a_n\}\)の極限値
といい，
\(\alpha=\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n\)
と表す．
またこのとき，
数列\(\{a_n\}\)は，\(\alpha\)に
収束する
ともいう．
この厳密な定義に基づいて， 次の数列の極限と四則演算に互換性があるという 基本的性質を証明する．
ある実数\(\alpha,\beta\)に対して， \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha, \displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\beta\) が成り立つとする． このとき， $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(ka_n+lb_n)=k\alpha+l\beta$$ $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_nb_n=\alpha\beta$$ $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta}$$ が成り立つ． ただし，\(k,l\)は定数であり， ３つ目の公式については，\(\beta\ne0\)を仮定する．
この記事は， [黒田2018] を参考にさせていただいています．
