数列の極限（$\varepsilon-N$論法）はさみうちの原理

数列の極限で扱った内容について，

$\varepsilon-N$ 論法を用いた厳密な議論を紹介する．

この記事では，

$\varepsilon-N$ 論法による数列の極限の定義に基づいて，次の定理を証明する．

ある実数 $\alpha,\beta$ に対して， $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha, \displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\beta$ が成り立つとする．このとき次が成り立つ．

全ての $n$ に対して， $a_n\leq b_n \hspace{5pt}\Longrightarrow\hspace{5pt} \alpha \leq \beta$
全ての $n$ に対して， $a_n\leq c_n \leq b_n$ かつ $\alpha=\beta \hspace{5pt}\Longrightarrow\hspace{5pt} \displaystyle\lim_{n\to\infty}c_n=\alpha$

最後の主張は「はさみうちの原理」と呼ばれる．

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この記事は， [黒田2018] を参考にさせていただいています．