この記事では, \varepsilon-N論法による数列の極限の定義に基づいて, 次の定理を証明する.
ある実数\alpha,\betaに対して, \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha, \displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\beta が成り立つとする. このとき次が成り立つ.
全てのnに対して, a_n\leq b_n \hspace{5pt}\Longrightarrow\hspace{5pt} \alpha \leq \beta
全てのnに対して, a_n\leq c_n \leq b_n かつ\alpha=\beta \hspace{5pt}\Longrightarrow\hspace{5pt} \displaystyle\lim_{n\to\infty}c_n=\alpha
最後の主張は「はさみうちの原理」と呼ばれる.
この記事は, [黒田2018] を参考にさせていただいています.