数列の極限(\varepsilon-N論法)はさみうちの原理

数列の極限 で扱った内容について, \varepsilon-N論法を用いた 厳密な議論を紹介する.

  1. 数列の極限(ε-N論法)定義と基本極限
  2. 数列の極限(ε-N論法)四則演算
  3. 数列の極限(ε-N論法)はさみうちの原理 (この記事)



この記事では, \varepsilon-N論法による数列の極限の定義に基づいて, 次の定理を証明する.

ある実数\alpha,\betaに対して, \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha, \displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\beta が成り立つとする. このとき次が成り立つ.

  • 全てのnに対して, a_n\leq b_n \hspace{5pt}\Longrightarrow\hspace{5pt} \alpha \leq \beta

  • 全てのnに対して, a_n\leq c_n \leq b_n かつ\alpha=\beta \hspace{5pt}\Longrightarrow\hspace{5pt} \displaystyle\lim_{n\to\infty}c_n=\alpha

最後の主張は「はさみうちの原理」と呼ばれる.




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この記事は, [黒田2018] を参考にさせていただいています.