関数\(f(x)\)に対して， $$a_n=f(n)$$ で定義される数列を考える． このとき，
$$
\lim_{x\to\infty}f(x)
\hspace{10pt}\mbox{と，}\hspace{10pt}
\lim_{n\to\infty}a_n
=\lim_{n\to\infty}f(n)
$$
は，同じものであろうか．
結論から言うと，一般的には違うものである．
例えば，反例として， 次のような例が知られている．
例． 関数\(f(x)=\sin(\pi x)\)に対して，数列 $$a_n=f(n)=\sin(\pi n)$$ を考える． このとき，任意の自然数\(n\)に対して， \(a_n=0\)なので， \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0\)であるが， \(f(x)\)は定数でない周期関数なので， \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(x)\)は存在しない．
まずは，一般的な場合として，次の定理を証明する．
定理．
\(\alpha\)を実数とする．
このとき，次の２つは同値である．
\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\alpha\)
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\infty\)をみたす 任意の数列\(\{b_n\}\)に対して， \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(b_n)=\alpha\)
上の定理からもわかるように， \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(n)=\alpha\)であっても， \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\alpha\)であるとは限らない のである． \(b_n=n\)とおくと，確かに， \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\infty\)が成り立つが， \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\alpha\)を結論づけるためには， \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\infty\)をみたす全ての 数列\(\{b_n\}\)について， \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(b_n)=\alpha\) を示さなければならないのである．
では，\(f(x)\)がどのような関数であれば， 数列\(a_n=f(n)\)の収束性を調べるだけで， \(x\to\infty\)での\(f(x)\)の収束性を結論付けられるだろうか． 言い換えると， \(f(x)\)がどのような関数であれば，
$$
\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\alpha
\hspace{5pt}\Longleftrightarrow\hspace{5pt}
\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha
\hspace{10pt}
(a_n=f(n))
$$
が成り立つであろうか．
これについては，次の定理が知られている．
\(\alpha\)を実数とする．
\(f(x)\)が単調増加または単調減少関数
であるとする．
このとき，次の２つは同値である．
この定理を証明して本稿を終える．
\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\alpha\)
数列\(b_n=n\)に対して， \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(b_n)=\alpha\)
この記事は， [黒田2018] を参考にさせていただいています．
