対数不等式

$a > 0, a\ne1$とする．対数関数$\log_ax$を含む不等式を 対数不等式という．

対数方程式の解法において，基本となる次の命題である．証明は，対数関数の単調性から明らかであろう．

$a > 0, a\ne1, M > 0, N > 0$とする．このとき，次が成り立つ． $$a > 1\mbox{なら，} \log_aM < \log_aN \Longleftrightarrow M < N$$ $$0 < a < 1\mbox{なら，} \log_aM < \log_aN \Longleftrightarrow M > N$$

対数$\log_aM$の真数$M$は必ず正であった事を思い出す．この条件は，真数条件と呼ばれ，対数方程式の場合と同様に，対数不等式を解く際にも注意しなければならない条件である．このことについて，よく似た４つの不等式

$\log_2(x^2+x-2) > 2$
$\log_2(x^2+x-2) < 2$
$\log_2(x-1)+\log_2(x+2) > 2$
$\log_2(x-1)+\log_2(x+2) < 2$

を用いて説明する．

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