\(
(a_1+a_2+\cdots+a_m)^n
\)
の展開式において，
\(
n=p_1+p_2+\cdots+p_m
\)
とするとき，
\(a^{p_1}a^{p_2}\cdots a^{p_m}\)
の項の係数は，
$$\frac{n!}{p_1!p_2!\cdots p_m!} =\frac{(p_1+p_2+\cdots+p_m)!}{p_1!p_2!\cdots p_m!} %=\frac{\left(\sum_{j=1}^m p_j\right)!}{p_1!p_2!\cdots p_m!} $$
である．
二項定理を，
$$
\mbox{「}
(a+b)^n
\mbox{の展開式において，}
a^{n-r}b^r
\mbox{の項の係数は，}
{_n}{\rm{C}}_r=\displaystyle\frac{n!}{(n-r)!r!}
\mbox{である．」}
$$
という形で学習した人も多いと思う．
これに対して，
\(n=p_1+p_2, r=p_2\)
とすると，
$${_n}{\rm{C}}_r=\frac{n!}{p_1!p_2!}=\frac{(p_1+p_2)!}{p_1!p_2!}$$
と書けることがわかる．
この形を見れば，
多項定理が二項定理の一般化になっていることが見やすいだろう．
