$$
e=2.71828
18284
59045
23536
02874
71352\cdots
$$
の２つの定義を紹介し，
それらが同値である事を証明する．
まずは１つ目の定義を述べる．
定義１.
極限値\(\lim_{h\to0}(1+h)^\frac{1}{h}\)が存在する
ので，
その値を\(e\)と定める．すなわち
$$
e=\lim_{h\to0}(1+h)^\frac{1}{h}
$$
と定義する．
注意.
残念ながら， \(\lim_{h\to0}(1+h)^\frac{1}{h}\) が収束することの証明は高校数学の範囲を超えてしまう． これについては， ネイピア数の定義（極限値の存在） を参照．
次に２つ目の定義を述べるための準備を行う．注意.
残念ながら， \(\lim_{h\to0}(1+h)^\frac{1}{h}\) が収束することの証明は高校数学の範囲を超えてしまう． これについては， ネイピア数の定義（極限値の存在） を参照．
\(a > 1\)とする． 関数\(y=a^x\)において， \(a\)の値に関わらず，点\((0,1)\)は，この関数上の点である． そこで， \(y=a^x\)上の点\((0,1)\)における接線の傾きが\(1\)となるような 実数\(a\)を考えることができる． \(y=a^x\)のグラフの形から， このような\(a\)がただ１つ存在することがわかる （下図を参照）． \(f(x)=a^x\)とすると， \(f(x)\)は，（実数全体で）微分可能であり， 微分の定義から， $$ f'(x) =\lim_{h\to0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h} =a^x\lim_{h\to0}\frac{a^{h}-1}{h} $$ なので， 点\((0,1)\)における接線の傾きは， $$ f'(0) =\lim_{h\to0}\frac{a^{h}-1}{h} $$ となる．
定義２.
\(a > 1\)とする．
\(y=a^x\)上の点\((0,1)\)での接線の傾きが\(1\)となるような\(a\)の値を\(e\)と定める．
すなわち，
$$
\lim_{h\to0}\frac{a^{h}-1}{h}=1
$$
を満たす\(a\)の値を\(e\)と定義する．
最後に，この２つの定義で定められる\(e\)が同じものであることを証明する．
定理．
ネイピア数の２つの定義は同値である．
すなわち，次が成り立つ．
$$
e=\lim_{h\to0}(1+h)^\frac{1}{h}
\Longleftrightarrow
\lim_{h\to0}\frac{e^{h}-1}{h}=1
$$
