ネイピア数の2つの定義

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ネイピア数 や自然対数の底 と呼ばれる無理数
$$ e=2.71828 18284 59045 23536 02874 71352\cdots $$
の2つの定義を紹介し, それらが同値である事を証明する.

まずは1つ目の定義を述べる.
定義1. 極限値\(\lim_{h\to0}(1+h)^\frac{1}{h}\)が存在する ので, その値を\(e\)と定める.すなわち $$ e=\lim_{h\to0}(1+h)^\frac{1}{h} $$ と定義する.

注意.
残念ながら, \(\lim_{h\to0}(1+h)^\frac{1}{h}\) が収束することの証明は高校数学の範囲を超えてしまう. これについては, ネイピア数の定義(極限値の存在) を参照.
次に2つ目の定義を述べるための準備を行う.
\(a > 1\)とする. 関数\(y=a^x\)において, \(a\)の値に関わらず,点\((0,1)\)は,この関数上の点である. そこで, \(y=a^x\)上の点\((0,1)\)における接線の傾きが\(1\)となるような 実数\(a\)を考えることができる. \(y=a^x\)のグラフの形から, このような\(a\)がただ1つ存在することがわかる (下図を参照).  \(f(x)=a^x\)とすると, \(f(x)\)は,(実数全体で)微分可能であり, 微分の定義から, $$ f'(x) =\lim_{h\to0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h} =a^x\lim_{h\to0}\frac{a^{h}-1}{h} $$ なので, 点\((0,1)\)における接線の傾きは, $$ f'(0) =\lim_{h\to0}\frac{a^{h}-1}{h} $$ となる.
以上から,次のようにネイピア数を定義することができる.
定義2. \(a > 1\)とする. \(y=a^x\)上の点\((0,1)\)での接線の傾きが\(1\)となるような\(a\)の値を\(e\)と定める. すなわち, $$ \lim_{h\to0}\frac{a^{h}-1}{h}=1 $$ を満たす\(a\)の値を\(e\)と定義する.



最後に,この2つの定義で定められる\(e\)が同じものであることを証明する.
定理. ネイピア数の2つの定義は同値である. すなわち,次が成り立つ.
$$ e=\lim_{h\to0}(1+h)^\frac{1}{h} \Longleftrightarrow \lim_{h\to0}\frac{e^{h}-1}{h}=1 $$



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