命題． \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,\ (a\ne0)\)とし， 曲線\(C:y=f(x)\)上の 点\({\rm{A}}(\alpha,f(\alpha))\)における 接線を\(\ell\)とする． このとき， \(C\)と\(\ell\)で囲まれる部分の面積\(S\)について，次が成り立つ． $$ S =\frac{|a|}{12}\left(3\alpha+\frac{b}{a}\right)^4 $$ とくに， \(a=1\)，\(b=0\)なら，次が成り立つ． $$ S =\frac{27}{4}\alpha^4 $$
このタイプの問題は良く出題されるが， 接点とは異なる交点を求めて， \(\frac{1}{12}\)面積公式を用いるのが一般的であると思う． 上の公式は，その交点すら求める必要がないことを示している．
とくに，\(x^3\)の係数が\(1\)である場合や， \(x^2\)の係数が\(0\)である場合 （これは変曲点の\(x\)座標が\(0\)である場合） など特別な場合には， さらに公式が簡単になる．
