3次関数と接線で囲まれる部分の面積

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3次関数と,その接線で囲まれる部分の面積について, 3次関数の対称性 と,よく知られた 1/12面積公式 を合わせることで,次が成り立つ.

命題. \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,\ (a\ne0)\)とし, 曲線\(C:y=f(x)\)上の 点\({\rm{A}}(\alpha,f(\alpha))\)における 接線を\(\ell\)とする. このとき, \(C\)と\(\ell\)で囲まれる部分の面積\(S\)について,次が成り立つ. $$ S =\frac{|a|}{12}\left(3\alpha+\frac{b}{a}\right)^4 $$ とくに, \(a=1\),\(b=0\)なら,次が成り立つ. $$ S =\frac{27}{4}\alpha^4 $$

このタイプの問題は良く出題されるが, 接点とは異なる交点を求めて, \(\frac{1}{12}\)面積公式を用いるのが一般的であると思う. 上の公式は,その交点すら求める必要がないことを示している.
とくに,\(x^3\)の係数が\(1\)である場合や, \(x^2\)の係数が\(0\)である場合 (これは変曲点の\(x\)座標が\(0\)である場合) など特別な場合には, さらに公式が簡単になる.

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