\(a_{n+1}=pa_n^q\)型の漸化式

\(p\ne0,\ q\ne0,1\)とする. 漸化式
  • \(a_1=a\)
  • \(a_{n+1}=pa_n^q\)
で定まる数列\(\{a_n\}\)の一般項は,
$$ a_n =a^{q^{n-1}}\cdot p^{\frac{1-q^{n-1}}{1-q}} $$
と表せる. ただし,任意\(n\geq1\)に対して,\(a_n>0\)を仮定している.


〔略説〕
\(p\ne1\)の場合を略説する. 漸化式の両辺の\(p\)を底とする対数をとることにより, 等式
$$ \log_pa_{n+1} =q\log_pa_n+1 $$
が得られる. ここで,数列\(\{b_n\}\)を $$ b_n=\log_p a_n $$ で定義すると, $$ b_{n+1}=qb_n+1 $$ が成り立つ. \(q\ne1\)なので, これは, \(a_{n+1}=pa_n+q\)型の漸化式 (→) である.
よって, 数列\(\{b_n\}\)の一般項が求まり, これから, 数列\(\{a_n\}\)の一般項が求まる.


詳しくはコチラ
PDF