隣接4項間漸化式

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隣接3項間漸化式 の応用として, 隣接4項間漸化式を考える.

漸化式
  • \(a_1=a,\ a_2=b,\ a_3=c\)
  • \(pa_{n+3}+qa_{n+2}+ra_{n+1}+sa_n=0\)
で定まる数列\(\{a_n\}\)の一般項を考える.

特性方程式 $$ px^3+qx^2+rx+s=0 $$ の解を\(\alpha,\ \beta,\ \gamma\)とすると, 解の種類に応じて, 数列\(\{a_n\}\)の一般項は,次のように表せる:
  • \(\alpha,\ \beta,\ \gamma\)が相異なるとき
    $$ a_n = \frac{ f(\beta,\gamma)\alpha^{n-1} }{(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)} + \frac{ f(\alpha,\gamma)\beta^{n-1} }{(\beta-\alpha)(\beta-\gamma)} + \frac{ f(\alpha,\beta)\gamma^{n-1} }{(\gamma-\alpha)(\gamma-\beta)} , $$
  • \(\alpha=\beta\ne\gamma\)のとき
    $$ a_n=a\alpha^{n-1} +\frac{(n-1)\{f(\alpha,\alpha)\gamma^{n-1}-f(\alpha,\gamma)\alpha^{n-1}\}} {\alpha(\gamma-\alpha)}, $$
  • \(\alpha=\beta=\gamma\)のとき
    $$ a_n =a\alpha^{n-1} +(n-1)(b-\alpha a)\alpha^{n-2} +(n-1)^2f(\alpha,\alpha)\alpha^{n-3}. $$
ここで, \(\delta_1,\delta_2 \in\{\alpha,\ \beta,\ \gamma\}\) に対して, $$ f(\delta_1,\delta_2):=c-(\delta_1+\delta_2)b+\delta_1\delta_2 a $$ とおいている. これは,単に簡単のためである.

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