次の最小値を求めよ．
最小値と言われると微分したくなるが，
それよりも，
平面上の２点
\({\rm{A}}(a_1,a_2)\)，\({\rm{B}}(b_1,b_2)\)の距離の公式が
$${\rm{AB}}=\sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2}$$
という形をしていたことを思い出すと，
\(F(x)\)の一部がこの公式の形をしていることに気づくだろう．
結果的に，この問題は，平面上の３点を
\({\rm{P}}(x,0)\)，\({\rm{A}}(3,1)\)，\({\rm{B}}(1,-2)\)
としたとき，
\({\rm{AB}}\)の距離を求める問題に帰着される．
$$F(x)=\sqrt{x^2-6x+10}+\sqrt{x^2-2x+5}\hspace{5pt}(x\in\mathbb{R})$$
\(j=1,2\)に対して，
\(f_j(x)=x^2+b_jx+c_j\)とする．
このとき，次の最小値を求めよ．
$$\sqrt{f_1(x)}+\sqrt{f_2(x)}\hspace{5pt}(x\in\mathbb{R})$$
ただし，\(f_j(x)\)の判別式\(D_j=b_j^2-4c_j\)の値は共に\(0\)以下であるとする．
判別式の値が正であれば，\(\sqrt{f_j(x)}\)が複素数となる\(x\)が存在する．
複素数に大小関係はないので，この仮定は問題の一般化を考える上で正当である．
結論を述べると，\(j=1,2\)に対して， 二次方程式\(f_j(x)=0\)の（虚数）解のうち， 虚部の値が正のものをそれぞれ \(\alpha_j\)とすると， 求める最小値は， $$\mid\alpha_1-\overline{\alpha_2}\mid$$ と書ける．
実数\(x\)に対して， \(\sqrt{f_1(x)}+\sqrt{f_2(x)}\)の最小値が， ２つの二次方程式\(f_j(x)=0\)の虚数解 の距離として，記述できるというのは， 驚くべき事実である． これは幾何的には，虚数解を三次元 （\(y\)軸，実軸\({\rm{Re}}(x)\)，虚軸\({\rm{Im}}(x)\) を用いて記述することで明らかとなるが， 詳細については， √２次式と虚数解の関係 で解説する．
