$$
y=f(x),
\hspace{20pt}
f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
\hspace{10pt}(a\ne0)
$$
が
複接線を持つための必要十分条件
は，
$$
3b^2-8ac>0
$$
が成り立つことであり
，
複接線定理
から，
複接線の傾きは，
\(f^{\prime\prime\prime}(\gamma)=0\)を満たす\(\gamma\)を用いて，
$$
f'(\gamma)
$$
と書けるのであった．
また，
異なる\(2\)つの接点を
\(
\left(\alpha,f(\alpha)\right)
,\
\left(\beta,f(\beta)\right)
\)
とすると，
$$
\gamma=\frac{\alpha+\beta}{2}
$$
が成り立つのであった．
命題．
上の記号をそのまま用いる．
\(4\)次関数\(C:y=f(x)\)は，
複接線\(\ell\)を持つとする．
任意の\(u\)に対して，
\(\ell\)と傾きが等しい直線\(\ell_u\):
$$
y=\ell_u(x)
,\hspace{20pt}
\ell_u(x)=f'(\gamma)x+u
$$
を考える．
\(C\)と\(\ell_u\)が共有点を持つとき，
その共有点と，点
$${\rm{P}}_u(\gamma,\ell_u(\gamma))$$に関して
対称である点も共有点のうちの\(1\)つである．
複接線を持たない\(4\)次関数に対しても， 上と同様に\(f'(\gamma)\)が定義できるので， これを傾きに持つ直線\(\ell_u\)を考えることにより， 上の命題は，複接線を持たない\(4\)次関数に対しても，成り立つ．
以上から， \(4\)次関数が，線対称になるためには， \(f'(\gamma)=0\)が必要十分であることが分かる． \(f'(\gamma)\)を計算することにより次が従う．
命題．
\(4\)次関数
$$
f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
\ (a\ne0)
$$
に対して，
曲線\(y=f(x)\)が線対称となるための必要十分条件は，
$$
b^3-4abc+8a^2d=0
$$
が成り立つことである．
またこのとき，
\(y=f(x)\)は，直線\(x=-\displaystyle\frac{b}{4a}\)に関して線対称である．
