放物線の準線と直交する\(2\)接線

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座標平面において, 放物線は, 定点\({\rm{F}}\)と, \({\rm{F}}\)を通らない定直線\(\ell\)からの距離が等しい点の軌跡として定義される. このとき, 定点\({\rm{F}}\)と定直線\(\ell\)を それぞれ, 放物線の焦点と準線というのであった. 準線が座標軸と平行である場合には, 放物線の方程式は次のように表せることが知られている. 以下では,\(p,q\ne0\)とする.
  • 焦点\((p,0)\)と,準線\(x=-p\)で定義される放物線の方程式は, 次のように表せる: $$ y^2=4px. $$
  • 焦点\((0,q)\)と,準線\(y=-q\)で定義される放物線の方程式は, 次のように表せる: $$ x^2=4qy. $$
逆に放物線に対して, その準線は次のように定めることができる.
命題. \(p,q\ne0\)とする.
  • 放物線\(C:y^2=4px\)の直交する\(2\)接線の交点\({\rm{P}}\)の奇跡は,準線\(x=-p\)である.
  • 放物線\(C’:x^2=4qx\)の直交する\(2\)接線の交点\({\rm{Q}}\)の奇跡は,準線\(y=-q\)である.


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