多項式環の普遍性

集合の圏を${\bf{Set}}$で表し，集合$X,Y$に対して， $X$から$Y$への写像全体の集合を ${\rm{Map}}(X,Y)$で表す． $A$を（単位元を持つ）可換環とする． $A$加群の圏を$A{\bf{\mbox{-}Mod}}$で表し， $A$加群$M,N$に対して， $M$から$N$への$A$線形写像全体の集合を ${\rm{Hom}}_A(M,N)$で表す． $A$上の環の圏を${\bf{Ring}}^A$で表し， $A$上の環$B,C$に対して， $B$から$C$への$A$上の環の射全体の集合を ${\rm{Mor}}_A(B,C)$で表す．

$A$を可換環とし，$\mathbb{N}$を非負整数全体の集合とする．自由加群の普遍性で構成した自由加群（$A^{(X)}$の$X$を$\mathbb{N}$としたもの） $$ A^{(\mathbb{N})}:=\{ s\in{\rm{Map}}(\mathbb{N},A)\mid V_s\mbox{は有限集合} \} $$ は，標準基底 $\{e_n\mid n\in\mathbb{N}\}$ に対して，その乗法を， $$ e_n\cdot e_m=e_{n+m} $$ で定めることにより， $A$上の環となる．ここで，$\mathbb{N}$では通常の加法を考えている．

定義． $A^{(\mathbb{N})}$を上で定めた乗法により， $A$上の環と考えたものを $A[T]$で表し， $A$上の$1$変数多項式環よぶ．標準基底 $e_n$は，$T^n$で表す．乗法の定義から， $T^n\cdot T^m=T^{n+m}$である．

$h^{A[T]}:{\bf{Ring}}^A\to{\bf{Set}}$を $A$上の$1$変数多項式環 $A[T]$が表現する関手とする． $A[T]$は普遍元を$T$として，忘却関手$U:{\bf{Ring}}^A\to{\bf{Set}}$を表現する．

定理． 関手の同型 $$ h^{A[T]}\to U $$ が存在する．

定義. 定理の関手の同型が存在することを多項式環の普遍性 という．

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この記事は， [斎藤2020] を参考にさせていただいています．