加重重心の拡張

\(\bigtriangleup\rm{ABC}\)と, その各辺または延長線上にない \(\rm{P}\)の位置関係について考察する. 以下では, \(4\)点\(\rm{A, B, C, P}\)の位置ベクトルを それぞれ \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{p}\)で表し, \(\bigtriangleup\rm{ABC}\)の面積をまた, \(\bigtriangleup\rm{ABC}\)などと表す.
定理. \(\alpha, \beta, \gamma>0\)とする. \(\bigtriangleup\rm{ABC}\)とその内部の点\({\rm{P}}\)に対して, 次の\(3\)条件は同値である:
  • \(\vec{p}=\displaystyle\frac{\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}}{\alpha+\beta+\gamma},\)
  • \(\alpha\overrightarrow{\rm{PA}} +\beta\overrightarrow{\rm{PB}} +\gamma\overrightarrow{\rm{PC}} =\overrightarrow{0},\)
  • \(\bigtriangleup\rm{BPC}:\bigtriangleup\rm{CPA}:\bigtriangleup\rm{APB} =\alpha:\beta:\gamma.\)
この定理の条件を満たす点\({\rm{P}}\)は, 三角形の各頂点に対応する重りを置いたときの重心の位置として 解釈できるため,加重重心と呼ばれることがある. 本稿では,この結果を拡張して, 点\({\rm{P}}\)が\(\bigtriangleup\rm{ABC}\)の外部にある場合も含めて考察する. まずは,\(\bigtriangleup\rm{ABC}\)の外部の領域を次のように分類する:
このとき,次が成り立つ.
\(\alpha, \beta, \gamma>0\)とする. \(\bigtriangleup\rm{ABC}\)とその外部(各辺の延長線を含まない)の点\({\rm{P}}\)に対して,条件 $$\bigtriangleup\rm{BPC}:\bigtriangleup\rm{CPA}:\bigtriangleup\rm{APB} =\alpha:\beta:\gamma$$ と, 次の条件は同値である:
  • \(\bullet\ \)点\({\rm{P}}\)が領域\(\mathcal{A}\)上にあるとき; \(\vec{p}=\displaystyle\frac{-\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}}{-\alpha+\beta+\gamma}, \hspace{20pt} -\alpha\overrightarrow{\rm{PA}} +\beta\overrightarrow{\rm{PB}} +\gamma\overrightarrow{\rm{PC}} =\overrightarrow{0}.\)
  • \(\bullet\ \)点\({\rm{P}}\)が領域\(\mathcal{B}\)上にあるとき; \(\vec{p}=\displaystyle\frac{\alpha\vec{a}-\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}}{\alpha-\beta+\gamma}, \hspace{20pt} \alpha\overrightarrow{\rm{PA}} -\beta\overrightarrow{\rm{PB}} +\gamma\overrightarrow{\rm{PC}} =\overrightarrow{0}.\)
  • \(\bullet\ \)点\({\rm{P}}\)が領域\(\mathcal{C}\)上にあるとき; \(\vec{p}=\displaystyle\frac{\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}-\gamma\vec{c}}{\alpha+\beta-\gamma}, \hspace{20pt} \alpha\overrightarrow{\rm{PA}} +\beta\overrightarrow{\rm{PB}} -\gamma\overrightarrow{\rm{PC}} =\overrightarrow{0}.\)



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