アポロニウスの円とメネラウスの定理

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\(\bigtriangleup{\rm{ABC}}\)と, 互いに異なる 正の実数\(a,b,c\)に対して,
  • 頂点\({\rm{A,B}}\)からの距離の比がそれぞれ\(a:b\)である点の軌跡を\(\Gamma_1\),
  • 頂点\({\rm{B,C}}\)からの距離の比がそれぞれ\(b:c\)である点の軌跡を\(\Gamma_2\),
  • 頂点\({\rm{C,A}}\)からの距離の比がそれぞれ\(c:a\)である点の軌跡を\(\Gamma_3\)
と定めると, 図形\(\Gamma_i\ (i=1,2,3)\)は全て円 であることが知られている (アポロニウスの円
そこで, その中心をそれぞれ\({\rm{O}}_i\ (i=1,2,3)\)とすると, 次が成り立つ.
命題. 3点\({\rm{O}}_i\ (i=1,2,3)\)は一直線上にある. (下図は,\(a > b > c\)の場合)
証明には, メネラウスの定理の逆を用いる.
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