アポロニウスの円と根軸

$\bigtriangleup{\rm{ABC}}$と， 互いに異なる 正の実数$a,b,c$に対して，

• 頂点${\rm{A,B}}$からの距離の比がそれぞれ$a:b$である点の軌跡を$\Gamma_1$，
• 頂点${\rm{B,C}}$からの距離の比がそれぞれ$b:c$である点の軌跡を$\Gamma_2$，
• 頂点${\rm{C,A}}$からの距離の比がそれぞれ$c:a$である点の軌跡を$\Gamma_3$

と定めると， 図形$\Gamma_i\ (i=1,2,3)$は全て円 であることが知られている （アポロニウスの円）
そこで， その中心と半径をそれぞれ${\rm{O}}_i\ (i=1,2,3)$， $r_i\ (i=1,2,3)$とし， ２円$\Gamma_i,\Gamma_j\ (i=1,2,3,\ j=1,2,3,\ i\ne j)$の 根軸を $\ell(i,j)$と表す． このとき，次が成り立つ．
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この記事は， [数学セミナー2020.11] を参考にさせていただいています．