命題．
微分可能な関数\(y=f(x)\)と，その定義域内の区間\(I\)において，
次が成り立つ．
次の命題は，極値の判定に便利である．
- 全ての\(x\in I\)に対して \(f^{\prime\prime}(x) > 0\) ならば， \(f(x)\)は\(I\)で下に凸である．
- 全ての\(x\in I\)に対して \(f^{\prime\prime}(x) < 0\) ならば， \(f(x)\)は\(I\)で上に凸である．
命題．
微分可能な関数\(f(x)\)において，
\(x=a\)の十分近くの区間で\(f^{\prime\prime}(x)\)が連続であるとする．
このとき，次が成り立つ．
- \(f'(a)=0\)かつ\(f^{\prime\prime}(a) > a\)ならば， \(f(a)\)は極小値である．
- \(f'(a)=0\)かつ\(f^{\prime\prime}(a) < a\)ならば， \(f(a)\)は極大値である．
さらに，下に凸と上に凸が変わる境目の点として変曲点を定義し， 次の２つの命題を証明する．
命題．
微分可能な関数\(y=f(x)\)上の点\({\rm{P}}(a, f(a))\)に対して，
\(x=a\)の前後で，\(f^{\prime\prime}(x)\)の符号が変わるならば，
点\({\rm{P}}\)は変曲点である．
命題．
微分可能な関数\(y=f(x)\)上の点\({\rm{P}}(a, f(a))\)に対して，次が成り立つ．
点\({\rm{P}}\)が変曲点
\(\Longrightarrow\)
\(f^{\prime\prime}(a)=0\)
