命題．
微分可能な関数y=f(x)と，その定義域内の区間Iにおいて，
次が成り立つ．
次の命題は，極値の判定に便利である．
- 全てのx\in Iに対して f^{\prime\prime}(x) > 0 ならば， f(x)はIで下に凸である．
- 全てのx\in Iに対して f^{\prime\prime}(x) < 0 ならば， f(x)はIで上に凸である．
命題．
微分可能な関数f(x)において，
x=aの十分近くの区間でf^{\prime\prime}(x)が連続であるとする．
このとき，次が成り立つ．
- f'(a)=0かつf^{\prime\prime}(a) > aならば， f(a)は極小値である．
- f'(a)=0かつf^{\prime\prime}(a) < aならば， f(a)は極大値である．
さらに，下に凸と上に凸が変わる境目の点として変曲点を定義し， 次の２つの命題を証明する．
命題．
微分可能な関数y=f(x)上の点{\rm{P}}(a, f(a))に対して，
x=aの前後で，f^{\prime\prime}(x)の符号が変わるならば，
点{\rm{P}}は変曲点である．
命題．
微分可能な関数y=f(x)上の点{\rm{P}}(a, f(a))に対して，次が成り立つ．
点{\rm{P}}が変曲点
\Longrightarrow
f^{\prime\prime}(a)=0
