- \(a_1=a\)
- \(a_{n+1}=\displaystyle\frac{ra_n}{pa_n+q}\)
\(q=r\)なら
$$
a_n
=\frac{ar}{r+ap(n-1)}
=\frac{aq}{q+ap(n-1)}
$$
\(q\ne r\)なら
$$
a_n
=\frac{ar^{n-1}(r-q)}{(r-q)q^{n-1}+ap(r^{n-1}-q^{n-1})}
$$
と表せる．
〔略説〕
漸化式で数列\(\{a_n\}\)が定義されている場合を考える． 漸化式の両辺の逆数を取ることで，等式 $$ \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{pa_n+q}{ra_n}=\frac{p}{r}+\frac{q}{ra_n} $$ を得る．ここで，数列\(\{b_n\}\)を $$ b_n=\displaystyle\frac{1}{a_n} $$ で定めると， $$ b_{n+1}=\frac{q}{r}b_n+\frac{p}{r} $$ が成り立つ．
\(q=r\)なら， これは， 単に等差数列の漸化式 (→) であり，
\(q\ne r\)なら， \(a_{n+1}=pa_n+q\)型の漸化式 (→) である．
以上から， 数列\(\{b_n\}\)の一般項が求まり， これから， 数列\(\{a_n\}\)の一般項が求まる．
