\(a_{n+1}=\frac{ra_n}{pa_n+q}\)型の漸化式

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\(p,r\ne0\)とする. 漸化式
  • \(a_1=a\)
  • \(a_{n+1}=\displaystyle\frac{ra_n}{pa_n+q}\)
で定まる数列\(\{a_n\}\)の一般項は,

\(q=r\)なら
$$ a_n =\frac{ar}{r+ap(n-1)} =\frac{aq}{q+ap(n-1)} $$

\(q\ne r\)なら
$$ a_n =\frac{ar^{n-1}(r-q)}{(r-q)q^{n-1}+ap(r^{n-1}-q^{n-1})} $$
と表せる.


〔略説〕
漸化式で数列\(\{a_n\}\)が定義されている場合を考える. 漸化式の両辺の逆数を取ることで,等式 $$ \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{pa_n+q}{ra_n}=\frac{p}{r}+\frac{q}{ra_n} $$ を得る.ここで,数列\(\{b_n\}\)を $$ b_n=\displaystyle\frac{1}{a_n} $$ で定めると, $$ b_{n+1}=\frac{q}{r}b_n+\frac{p}{r} $$ が成り立つ.

\(q=r\)なら, これは, 単に等差数列の漸化式 (→) であり,
\(q\ne r\)なら, \(a_{n+1}=pa_n+q\)型の漸化式 (→) である.
以上から, 数列\(\{b_n\}\)の一般項が求まり, これから, 数列\(\{a_n\}\)の一般項が求まる.


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